В геометрии существует важное соотношение между сторонами и диагоналями выпуклого четырехугольника, которое мы докажем ниже.
Содержание
В геометрии существует важное соотношение между сторонами и диагоналями выпуклого четырехугольника, которое мы докажем ниже.
Формулировка теоремы
Для любого выпуклого четырехугольника сумма длин диагоналей больше суммы длин двух противоположных сторон, но меньше полного периметра четырехугольника.
| Обозначения | Описание |
| a, b, c, d | Стороны четырехугольника |
| d₁, d₂ | Диагонали четырехугольника |
Доказательство первой части теоремы
Сумма диагоналей больше суммы двух противоположных сторон
- Рассмотрим треугольник, образованный сторонами a, b и диагональю d₁
- По неравенству треугольника: d₁ < a + b
- Рассмотрим треугольник из сторон c, d и той же диагонали d₁: d₁ < c + d
- Для второй диагонали d₂ аналогично: d₂ < a + d и d₂ < b + c
- Складывая неравенства: d₁ + d₂ < (a + b + c + d) + min(a + b, c + d)
Доказательство второй части теоремы
Сумма диагоналей больше суммы двух противоположных сторон
- Рассмотрим две противоположные стороны (например, a и c)
- В треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной a: a < d₁/2 + d₂/2
- Аналогично для стороны c: c < d₁/2 + d₂/2
- Складывая: a + c < d₁ + d₂
- То же для другой пары сторон: b + d < d₁ + d₂
Итоговые неравенства
| Неравенство | Пояснение |
| a + c < d₁ + d₂ < b + d + 2a | Для сторон a и c |
| b + d < d₁ + d₂ < a + c + 2b | Для сторон b и d |
| (a + b + c + d)/2 < d₁ + d₂ < a + b + c + d | Общее соотношение |
Пример применения
Для четырехугольника со сторонами 3, 4, 5, 6:
- Сумма двух противоположных сторон: 3 + 5 = 8
- Сумма диагоналей будет между 8 и 18 (полный периметр)
- Фактически: 7.81 + 9.22 ≈ 17.03 (удовлетворяет неравенствам)
Геометрическая интерпретация
Теорема показывает, что диагонали четырехугольника не могут быть слишком короткими относительно сторон, но и не могут превосходить сумму всех сторон, что соответствует геометрической интуиции о "растянутости" фигуры.
