Доверительный интервал представляет собой диапазон значений, который с определенной вероятностью содержит оцениваемый параметр генеральной совокупности. Расчет границ зависит от типа данных, объема выборки и требуемого уровня доверия.
Содержание
Доверительный интервал представляет собой диапазон значений, который с определенной вероятностью содержит оцениваемый параметр генеральной совокупности. Расчет границ зависит от типа данных, объема выборки и требуемого уровня доверия.
Основные понятия
- Доверительная вероятность - уровень надежности оценки (обычно 90%, 95% или 99%)
- Стандартная ошибка - мера изменчивости выборочной статистики
- Критическое значение - коэффициент из распределения Стьюдента или нормального распределения
Формула расчета доверительного интервала
Для среднего значения при известном σ:
ДИ = x̄ ± z*(σ/√n)
Для среднего значения при неизвестном σ:
ДИ = x̄ ± t*(s/√n)
Обозначения
| x̄ | Выборочное среднее |
| z | Z-статистика для нормального распределения |
| t | t-статистика для распределения Стьюдента |
| σ | Стандартное отклонение генеральной совокупности |
| s | Выборочное стандартное отклонение |
| n | Объем выборки |
Пошаговый алгоритм расчета
- Определите уровень доверительной вероятности (1-α)
- Вычислите выборочное среднее (x̄)
- Рассчитайте стандартное отклонение (σ или s)
- Найдите критическое значение (z или t) для заданного уровня доверия
- Вычислите стандартную ошибку (σ/√n или s/√n)
- Умножьте критическое значение на стандартную ошибку
- Прибавьте и вычтите полученное значение из выборочного среднего
Пример расчета для 95% доверительного интервала
| Выборочное среднее (x̄) | 50 |
| Стандартное отклонение (s) | 10 |
| Объем выборки (n) | 30 |
| Границы интервала | 50 ± 2.045*(10/√30) = [46.27, 53.73] |
Особенности для разных распределений
- Нормальное распределение: используется z-статистика
- Неизвестное σ и n < 30: t-распределение Стьюдента
- Биномиальное распределение: формула Уилсона или метод Клоппера-Пирсона
- Пуассоновское распределение: метод Гарвуда
Важные замечания
- Чем выше доверительная вероятность, тем шире интервал
- Увеличение объема выборки сужает интервал
- Для пропорций используется другая формула расчета
- При малых выборках применяют поправки на конечность совокупности
Для практических расчетов можно использовать статистические пакеты (R, Python, SPSS) или онлайн-калькуляторы, которые автоматически определяют границы доверительного интервала по введенным данным.
